图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出，使为直角三角形（点在小正方形的顶点上，画出一个即可）；
（2）在图2中画出，使为等腰三角形（点在小正方形的顶点上，画出一个即可）．

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如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $ΔABO$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 4, 3)$ ， $O (0, 0)$ ．

（1）画出 $ΔABO$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} O$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔABO$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $A_{2} B_{2} O$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点 $A$ 旋转到点 $A_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π)$ ．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(a - \frac{a^{2}}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 \cos 60 ° + 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于原点 $O$ 和点 $A$ ，且其顶点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标为 $(2, 1)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$ ，使得抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上的任意一点 $G$ 到定点 $F$ 的距离与点 $G$ 到直线 $y = - 2$ 的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$ 的坐标；

②过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

证明：当直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时， $\frac{1}{MF} + \frac{1}{NF}$ 是定值，并求出该定值；

（3）点 $C (3, m)$ 是该抛物线上的一点，在 $x$ 轴， $y$ 轴上分别找点 $P$ ， $Q$ ，使四边形 $PQBC$ 周长最小，直接写出 $P$ ， $Q$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径． $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，弦 $ED$ 垂直 $AB$ 于点 $F$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $ED$ 的延长线于点 $P$

（1）求证： $PC = PG$ ；

（2）判断 $P G^{2} = PD \cdot PE$ 是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$ 为 $BC$ 中点， $OG = \sqrt{5}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $DE$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 $y$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于 $P$ ， $D$ 两点．以 $AD$ 为边作正方形 $ABCD$ ，点 $B$ 落在 $x$ 轴的负半轴上，已知 $ΔBOD$ 的面积与 $ΔAOB$ 的面积之比为 $1 : 4$ ．

（1）求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式；

（2）求点 $P$ 的坐标及 $ΔCPD$ 外接圆半径的长．

题型：未知
难度：未知

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