（选修45：不等式选讲）设函数．（1）解不等式；（2）若对任

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（选修4-5：不等式选讲）设函数．
（1）解不等式；
（2）若对任意实数满足，求实数的取值范围．

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已知函数 $f (x) = 4 x^{3} + 3 t x^{2} - 6 t^{2} x + t - 1$ ， $x \in R$ ，其中 $t \in R$ ．
（Ⅰ）当 $t = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）当 $t \neq 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的 $t \in (0, + \infty)$ ， $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内均存在零点．

题型：未知
难度：未知

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ,点 $P (a, b)$ 满足 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)设直线 $P F_{2}$ 与椭圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ ,两点若直线 $P F_{2}$ 与圆相交于 $M, N$ 两点,且 $|M N| = \frac{5}{8} |A B|$ ,求椭圆的方程．

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45 °$ ， $A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点， $P O ⊥ 平面 A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点．

（Ⅰ）证明： $P B ∥ 平面 A C M$ ；
（Ⅱ）证明： $A D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅲ）求直线 $A M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值．

题型：未知
难度：未知

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在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $B = C, 2 b = \sqrt{3} a$ ．

(Ⅰ)求 $\cos A$ 的值；
(Ⅱ) $\cos (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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编号为 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	$A_{9}$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40]$
人数

（Ⅱ）从得分在区间 $[20, 30)$ 内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

题型：未知
难度：未知

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