移动公司在国庆期间推出套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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移动公司在国庆期间推出套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元，国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

（Ⅰ）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；
（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率．

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已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} + c (a > 0)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ .

(I)用 $a$ 表示出 $b, c$ ;

(II)若 $f (x) \geq \ln x$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(III)证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . . . + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \geq 1)$ .

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（1）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）证明：数列 ${b_{n}}$ 中的任意三项不可能成等差数列。

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如图，在四面体 $A B O C$ 中, $O C ⊥ O A, O C ⊥ O B, ∠ A O B = 120^{°}$ , 且 $O A = O B = O C = 1$ .

（Ⅰ）设为 $P$ 为 $A C$ 的中点，证明：在 $A B$ 上存在一点 $Q$ ，使 $P Q ⊥ O A$ ，并计算 $\frac{A B}{A Q}$ 的值；
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（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f (x)$ 达到最小，并求最小值。

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