如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．若分别为棱的中点，

（1）求证：∥侧面；
（2）试求与底面所成角的正弦值．

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设函数 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + x (x \in R)$ ．
(1) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(2) 当 $k < 0$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[k, - k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F (0, c) (c > 0)$ 到直线 $l : x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 为切点．
(1) 求抛物线 $C$ 的方程；
(2) 当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $A B$ 的方程；
(3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|A B| \cdot |B F|$ 的最小值．

题型：未知
难度：未知

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设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 1, n \in N^{*}$ ,且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列．
(1) 证明： $a_{2} = \sqrt{4 a_{1} + 5}$ ；
(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + . . . + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图①，在边长为1的等边三角形 $A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点， $A D = A E$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - B C F$ ，其中 $B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1) 证明： $D E / /$ 平面 $B C F$ ；
(2) 证明： $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ；
(3) 当 $A D = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - D E G$ 的体积 $V_{F - D E G}$ ．

题型：未知
难度：未知

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从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）	$[80, 85)$	$[85, 90)$	$[90, 95)$	$[95, 100)$
频数（个）	5	10	20	15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 $[90, 95)$ 的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 的苹果中共抽取4个，其中重量在 $[80, 85)$ 的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 中各有1个的概率．

题型：未知
难度：未知

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