如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，并

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，并且，F为SD的中点．

（1）证明：平面FAC；
（2）求三棱锥的体积．

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已知各项全不为零的数列 ${a_{k}}$ 的前k项和为 $S_{k}$ ,且 $S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1} (k \in N^{*})$ ,其中 $a_{1} = 1$ .
(Ⅰ)求数列 ${a_{k}}$ 的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数 $n (n \geq 2)$ ,数列 ${b_{k}}$ 满足 $\frac{b_{k + 1}}{b_{k}} = \frac{k - n}{a_{k + 1}} (k = 1, 2, . . ., n - 1), b_{1} = 1$ .求 $b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n}$ ^.

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$C$ 已知椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$ .
(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程;
(Ⅱ)设直线 $l$ 与椭圆C交于 $A, B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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设函数 $f (x) = \frac{c^{2}}{x^{2} + a x + a}$ ,其中 $a$ 为实数.
(Ⅰ)若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ,求 $a$ 的取值范围;
(Ⅱ)当 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 时,求 $f (x)$ 的单减区间.

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如图,在底面为直角梯形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ , $∠ A B C = 90 °$ , $P A ⊥ 平面$ ， $P A = 4$ , $A D = 2$ , $A B = 2 \sqrt{3}$ , $B C = 6$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥ 平面 P A C$ ;

(Ⅱ)求二面角 $P - B D - D$ 的大小.

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某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 $ζ$ ，求随机变量 $ζ$ 的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

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