已知动点与两定点、连线的斜率之积为．（1）求动点的轨迹C的方

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知动点与两定点、连线的斜率之积为．
（1）求动点的轨迹C的方程；
（2）若过点的直线交轨迹于M、N两点，且轨迹上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线的方程．

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已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 等比数列， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ ， $\frac{1}{3} S_{n} \leq S_{n + 1} \leq 3 S_{n}, n \in N^{+}$ 求 $q$ 的取值范围；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 的公差.

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 记 $η = (a x_{1} + b y_{1} + c) (a x_{2} + b y_{2} + c)$ 若 $η < 0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.
(1)求证：点 $A (1, 2), B (- 1, 0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔；

(2)若直线 $y = k x$ 是曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
(3)动点 $M$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为1，设点 $M$ 的轨迹为 $E$ ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线.