已知矩形ABCD的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角

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已知矩形ABCD的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的边长．

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $OD$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $BE$ ．

（1）求证： $BE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）设 $OE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，若 $DF = 2$ ， $BC = 4 \sqrt{3}$ ，求线段 $EF$ 的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

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为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，海监船继续向东航行1小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．

（1）求 $B$ 处到灯塔 $P$ 的距离；

（2）已知灯塔 $P$ 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

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我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

（1）成绩为“ $B$ 等级”的学生人数有　　名；

（2）在扇形统计图中，表示“ $D$ 等级”的扇形的圆心角度数为　　，图中 $m$ 的值为　　；

（3）学校决定从本次比赛获得“ $A$ 等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“ $A$ 等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．

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如图，点 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $B$ 在同一直线上，点 $A$ 、 $D$ 在 $BC$ 异侧， $AB / / CD$ ， $AE = DF$ ， $∠ A = ∠ D$ ．

（1）求证： $AB = CD$ ；

（2）若 $AB = CF$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D$ 的度数．

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计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | + 4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(π - 3)}^{0}$ ．

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