已知双曲线的离心率,过点,的直线到原点的距离是.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线交双曲线于不同的点,且都在以为圆心的圆上,求的值.
(本小题满分14分)已知,,,其中.(1)若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值;(2)若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且 ,,求的值;(3)当时,若,是的两个极值点,当时,求证:.
(本小题满分13分)已知函数的导数为,且数列满足. (1)若数列是等差数列,求的值;(2)当时,求数列的前项和;(3)若对任意都有成立,求的取值范围.
(本小题满分12分)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
(本小题满分12分)已知向量,.(1)当时,求的值;(2)设函数,已知在中,内角的对边分别为,若,,,求()的取值范围.
(本小题满分12分)已知递增等比数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,且的前项和,求证:.