(本小题满分12分)直三棱柱中,,E,F分别是的中点,为棱上的点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)已知存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,请说明点D的位置.
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8 k m 的 A , B 两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过 A , B 两点的直线为 x 轴,线段 A B 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图)。考察范围到 A , B 两点的距离之和不超过10 k m 的区域. (I)求考察区域边界曲线的方程: (II)如图4所示,设线段 P 1 P 2 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 k m ,以后每年移动的距离为前一年的2倍。问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上?
如图所示,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, A B = A D = 1 , A A 1 = 2 ,M是棱 C C 1 的中点.
(Ⅰ)求异面直线 A 1 M 和 C 1 D 1 所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面 A B M ⊥ 平面 A 1 B 1 M 1
为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A , B , C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)
(I)求 x , y ; (II)若从高校 B , C 抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。
已知函数 f x = sin 2 x - 2 sin 2 x
(I)求函数 f x 的最小正周期。 (II) 求函数 f x 的最大值及 f x 取最大值时 x 的集合。
设函数 f ( x ) = 1 - e - x . (Ⅰ)证明:当 x > - 1 时, f ( x ) ≥ x x + 1 ; (Ⅱ)设当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≤ x a x + 1 ,求 a 的取值范围.