如图（1），是等腰直角三角形，其中，，分别为，的中点，将沿折

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图（1），是等腰直角三角形，其中，，分别为，的中点，将沿折起，点的位置变为点，已知点在平面上的射影为的中点，如图（2）所示．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

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设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

（1）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

（2）求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有一个零点

① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2}, b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．

题型：未知
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一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0, 1, 2, 3)$ ．

（1）已知 $p_{0} = 0.4, p_{1} = 0.3, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ ；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + p_{3} x^{3} = x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E (X) \leq 1$ 时， $p = 1$ ，当 $E (X) > 1$ 时， $p < 1$ ；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

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已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| MN | = \sqrt{3}$ ．

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在四棱锥中，底面 $ABCD$ 是正方形，若 $AD = 2, QD = QA = \sqrt{5}, QC = 3$ ．

（1）证明：平面 $QAD ⊥$ 平面 $ABCD$ ；

（2）求二面角 $B - QD - A$ 的平面角的余弦值．

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