已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，其中，证明：．
（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．在正数，使得成立？请说明理由．