平行四边形ABCD中,过A作AE⊥BC,垂足为E,连DE、F为线段DE上一点,且∠1=∠B.求证:△ADF∽△DEC.
如图,已知抛物线经过点、,交轴于点.(1)求此抛物线的解析式;(2)抛物线第一象限上有一动点,过点作轴,垂足为,请求出的最大值,及此时点坐标;(3)抛物线顶点为,轴于点,一块三角板直角顶点在线段上滑动,且一直角边过点,另一直角边与轴交于,请求出实数的变化范围,并说明理由.
问题提出:平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆.那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上),能否在同一个圆呢?初步思考:设不在同一条直线上的三点、、确定的圆为⊙. (1)当、在线段的同侧时,如图①,若点在⊙上,此时有,理由是 ;如图②,若点在⊙内,此时有 ;如图③,若点在⊙外,此时有 .(填“”、“”或“”);由上面的探究,请直接写出、、、四点在同一个圆上的条件: .类比学习:(2)仿照上面的探究思路,请探究:当、在线段的异侧时的情形.如图④,此时有 ,如图⑤,此时有 , 如图⑥,此时有 .由上面的探究,请用文字语言直接写出、、、四点在同一个圆上的条件: . 拓展延伸:(3)如何过圆上一点,仅用没有刻度的直尺,作出已知直径的垂线? 已知:如图,是⊙的直径,点在⊙上,求作:.作法:①连接,;②在 上任取异于、的一点,连接,;③与相交于点,延长、,交于点;④连接、并延长,交直径于;⑤连接、并延长,交⊙于N.连接. 则.请按上述作法在图④中作图,并说明的理由.(提示:可以利用(2)中的结论)
沿海开发公司准备投资开发、两种新产品,通过市场调研发现:(1)若单独投资种产品,则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间满足正比例函数关系:;(2)若单独投资种产品,则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间满足二次函数关系:.(3)根据公司信息部的报告,,(万元)与投资金额(万元)的部分对应值如下表所示:
(1)填空: ; ;(2)若公司准备投资20万元同时开发、两种新产品,设公司所获得的总利润为(万元),试写出与某种产品的投资金额(万元)之间的函数关系式;(3)请你设计一个在(2)中能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元?
科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;(2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过,那么实验室的温度应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为,拱顶距离水面.(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;(2)设正常水位时桥下的水深为,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.