（宜宾）如图，抛物线与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（宜宾）如图，抛物线与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．
①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；
②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，点 $A$ ， $F$ ， $C$ ， $D$ 在一条直线上， $AB / / DE$ ， $AB = DE$ ， $AF = DC$ ．求证： $BC / / EF$ ．

题型：未知
难度：未知

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【定义】如图1， $A$ ， $B$ 为直线 $l$ 同侧的两点，过点 $A$ 作直线 $l$ 的对称点 $A'$ ，连接 $A' B$ 交直线 $l$ 于点 $P$ ，连接 $AP$ ，则称点 $P$ 为点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A (2, \sqrt{3})$ ， $B (- 2, - \sqrt{3})$ 两点．

（1） $C (4, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $D (4, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $E (4, \frac{1}{2})$ 三点中，点　 $C$ 　是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $x = 4$ 的等角点；

（2）若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，点 $P (m, n)$ 是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的等角点，其中 $m > 2$ ， $∠ APB = α$ ，求证： $\tan \frac{α}{2} = \frac{n}{2}$ ；

（3）若点 $P$ 是点 $A$ ， $B$ 关于直线 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的等角点，且点 $P$ 位于直线 $AB$ 的右下方，当 $∠ APB = 60 °$ 时，求 $b$ 的取值范围（直接写出结果）．

题型：未知
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如图，正方形 $ABCD$ 中， $AB = 2 \sqrt{5}$ ， $O$ 是 $BC$ 边的中点，点 $E$ 是正方形内一动点， $OE = 2$ ，连接 $DE$ ，将线段 $DE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得 $DF$ ，连接 $AE$ ， $CF$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）若 $A$ ， $E$ ， $O$ 三点共线，连接 $OF$ ，求线段 $OF$ 的长．

（3）求线段 $OF$ 长的最小值．

题型：未知
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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} - \frac{5}{2} k (k$ 为常数）．

（1）若抛物线经过点 $(1, k^{2})$ ，求 $k$ 的值；

（2）若抛物线经过点 $(2 k, y_{1})$ 和点 $(2, y_{2})$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $k$ 的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当 $1 ⩽ x ⩽ 2$ 时，新抛物线对应的函数有最小值 $- \frac{3}{2}$ ，求 $k$ 的值．

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小明购买 $A$ ， $B$ 两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：

次数	购买数量（件 $)$		购买总费用（元 $)$
次数	$A$	$B$	购买总费用（元 $)$
第一次	2	1	55
第二次	1	3	65

根据以上信息解答下列问题：

（1）求 $A$ ， $B$ 两种商品的单价；

（2）若第三次购买这两种商品共12件，且 $A$ 种商品的数量不少于 $B$ 种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

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