．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为的铅笔
斜靠在垂直于水平桌面
的直尺
的边沿上，一端
固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点
顺时针旋转，
与
交于点
，当旋转至水平位置时，铅笔
的中点
与点
重合．
数学思考
（1）设，点
到
的距离
．
①用含的代数式表示：
的长是
，
的长是
；
②与
的函数关系式是 ，自变量
的取值范围是 ．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
6 |
5 |
4 |
3.5 |
3 |
2.5 |
2 |
1 |
0.5 |
0 |
|
0 |
0.55 |
1.2 |
1.58 |
|
2.47 |
3 |
4.29 |
5.08 |
|
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，
垂直水平桌面
于点
，点
为旋转点，
可转动，当
绕点
顺时针旋转时，投影探头
始终垂直于水平桌面
，经测量：
，
，
，
．（结果精确到
．
（1）如图2，，
．
①填空：
．
②求投影探头的端点到桌面
的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点
到桌面
的距离为
时，求
的大小．
（参考数据：，
，
，
如图1，为半圆的直径，点
为圆心，
为半圆的切线，过半圆上的点
作
交
于点
，连接
．
（1）连接，若
，求证：
是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点
时，连接
，
，判断
和
的数量关系，并证明你的结论．
某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级 |
参加英语听力训练人数 |
||||
周一 |
周二 |
周三 |
周四 |
周五 |
|
七年级 |
15 |
20 |
30 |
30 |
|
八年级 |
20 |
24 |
26 |
30 |
30 |
合计 |
35 |
44 |
51 |
60 |
60 |
（1）填空： ；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级 |
平均训练时间的中位数 |
参加英语听力训练人数的方差 |
七年级 |
24 |
34 |
八年级 |
|
14.4 |
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
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