已知等差数列中, . (1)求数列的通项公式; (2)令,证明:.
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1,x2,设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为-,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度;(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件.
设函数f(x)=ln x--ln a(x>0,a>0且为常数).(1)当k=1时,判断函数f(x)的单调性,并加以证明;(2)当k=0时,求证:f(x)>0对一切x>0恒成立;(3)若k<0,且k为常数,求证:f(x)的极小值是一个与a无关的常数.
已知函数f(x)=ax-ln x,g(x)=,它们的定义域都是(0,e],其中e是自然对数的底e≈2.7,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(2)当a=1时,求证:f(m)>g(n)+对一切m,n∈(0,e]恒成立;(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3?如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=aln x(a≠0).(1)若f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(2)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.
设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围.