如图①②，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，如图①

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图①②，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起，如图①②放置．
（1）若∠BOC＝60°，如图①求∠AOD的度数；
（2）若∠BOC＝70°，如图②求∠AOD的度数；
（3）猜想∠AOD和∠BOC的关系．

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如图①，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$ 轴，并沿 $x$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧），连接 $PQ$ ，在线段 $PQ$ 上方抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $DP$ 、 $DQ$ ．

（Ⅰ）若点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $ΔDPQ$ 面积的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $ΔDPQ$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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【发现】如图①，已知等边 $ΔABC$ ，将直角三角板的 $60 °$ 角顶点 $D$ 任意放在 $BC$ 边上（点 $D$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），使两边分别交线段 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $AB = 6$ ， $AE = 4$ ， $BD = 2$ ，则 $CF =$ 　　；

（2）求证： $ΔEBD ∽ ΔDCF$ ．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$ 在 $BC$ 边上移动，保持三角板与边 $AB$ 、 $AC$ 的两个交点 $E$ 、 $F$ 都存在，连接 $EF$ ，如图②所示，问：点 $D$ 是否存在某一位置，使 $ED$ 平分 $∠ BEF$ 且 $FD$ 平分 $∠ CFE$ ？若存在，求出 $\frac{BD}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$ 处（其中 $∠ MON = ∠ B)$ ，使两条边分别交边 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 、 $F$ 均不与 $ΔABC$ 的顶点重合），连接 $EF$ ．设 $∠ B = α$ ，则 $ΔAEF$ 与 $ΔABC$ 的周长之比为　　（用含 $α$ 的表达式表示）．