马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53．50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36．5°≈0．6，cos36．5°≈0．8，tan36．5°≈0．75）．

（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

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计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | + 2020^{0}$ ．

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如图1，在平面直角坐标系中， $A (- 2, - 1)$ ， $B (3, - 1)$ ，以 $O$ 为圆心， $OA$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $AO$ 延长线于 $C$ ，连接 $AB$ ， $BC$ ，过 $O$ 作 $ED / / BC$ 分别交 $AB$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $OB$ ， $CD$ ．

（1）求证： $BC$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $OBCD$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $ΔOAB$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{ΔEPQ} = S_{ΔOAB}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

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为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往 $A$ 地240吨， $B$ 地260吨，运费如下表（单位：元 $/$ 吨）．

目的地

生产厂

$A$

$B$

甲

乙

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往 $A$ 地 $x$ 吨，全部运往 $A$ ， $B$ 两地的总运费为 $y$ 元．求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低 $m$ 元 $(0 < m ⩽ 15$ 且 $m$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 $m$ 的最小值．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 20$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上的一点，将 $ΔABE$ 沿着 $AE$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $CD$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $DG$ 上，将 $ΔADF$ 沿着 $AF$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $AG$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{ΔGFH} : S_{ΔAFH} = 2 : 3$ ，

（1）求证： $ΔEGC ∽ ΔGFH$ ；

（2）求 $AD$ 的长；

（3）求 $\tan ∠ GFH$ 的值．

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九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	4	2	$m$	$\frac{2}{3}$	$\dots$

描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

① 　　；

② 　　；

（3）①观察发现：如图2．若直线 $y = 2$ 交函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $OA$ ，过点 $B$ 作 $BC / / OA$ 交 $x$ 轴于 $C$ ．则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　；

②探究思考：将①中"直线 $y = 2$ "改为"直线 $y = a (a > 0)$ "，其他条件不变，则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　；

③类比猜想：若直线 $y = a (a > 0)$ 交函数 $y = \frac{k}{| x |} (k > 0)$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $OA$ ，过点 $B$ 作 $BC / / OA$ 交 $x$ 轴于 $C$ ，则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　．

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