（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；
（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.

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数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + c n$ （ $c$ 是常数， $n = 1, 2, 3 . . .$ ），且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公比不为1的等比数列．
（I）求 $c$ 的值；
（II）求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 $a_{1}$ ，以后每年交纳的数目均比上一年增加 $d (d > 0)$ ，因此，历年所交纳的储务金数目 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，…是一个公差为 $d$ 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为 $r (r > 0)$ ，那么，在第 $n$ 年末，第一年所交纳的储备金就变为 $a_{1}$ ${(1 + r)}^{a - 1}$ ，第二年所交纳的储备金就变为 $a_{2}$ ${(1 + r)}^{a - 2}$ ，……，以 $T_{n}$ 表示到第 $n$ 年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出 $T_{n}$ 与 $T_{n} - 1$ $(n ⩾ 2)$ 的递推关系式；
（Ⅱ）求证： $T_{n} = A_{n} + B_{n}$ ，其中 $\{A_{n}\}$ 是一个等比数列， $\{B_{n}\}$ 是一个等差数列.

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在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以 $ξ$ 表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出 $ξ$ 的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望 $E ξ$ ；
（Ⅲ）求概率 $P (ξ \geq E ξ)$ .

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如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^{2} = 2 x (y \geq 0)$ .以原点为圆心，以 $t (t > 0)$ 为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$ .直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ .

（Ⅰ）求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式；
（Ⅱ）设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$ ，求证：直线 $C D$ 的斜率为定值.

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设 $a \geq 0, f (x) = x - 1 - \ln^{2} x + 2 a \ln x (x > 0)$ .

（Ⅰ）令 $F (x) = x f^{`} (x)$ ,讨论 $F (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证:当 $x > 1$ 时,恒有 $x > \ln^{2} x - 2 a \ln x + 1$ .

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