如图,在平面直角坐标系中,有一Rt△ABC,且A(﹣1,3),B(﹣3,﹣1),C(﹣3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的. (1)请写出旋转中心的坐标是 ,旋转角是 度; (2)以(1)中的旋转中心为中心,分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形; (3)设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c,利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.
如图,为半圆的直径,点为半圆上任一点.
(1)若,过点作半圆的切线交直线于点.求证:;
(2)若,过点作的平行线交半圆于点.当以点,,,为顶点的四边形为菱形时,求的长.
一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球, 小球上分别标有数字, 0 , 1 . 从袋中一次随机摸出两个小球, 把上面标注的两个数字分别作为点的横、 纵坐标 .
(1) 请用列表或画树状图的方法列出点所有可能的坐标;
(2) 求点在直线上的概率 .
如图1,直线 y = - 4 3 x + n 交 x 轴于点 A ,交 y 轴于点 C ( 0 , 4 ) ,抛物线 y = 2 3 x 2 + bx + c 经过点 A ,交 y 轴于点 B ( 0 , - 2 ) .点 P 为抛物线上一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PD ,过点 B 作 BD ⊥ PD 于点 D ,连接 PB ,设点 P 的横坐标为 m .
(1)求抛物线的解析式;
(2)当 ΔBDP 为等腰直角三角形时,求线段 PD 的长;
(3)如图2,将 ΔBDP 绕点 B 逆时针旋转,得到△ BD ' P ' ,且旋转角 ∠ PBP ' = ∠ OAC ,当点 P 的对应点 P ' 落在坐标轴上时,请直接写出点 P 的坐标.
(1)发现:如图1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC = a , AB = b .
填空:当点 A 位于 时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 (用含 a , b 的式子表示)
(2)应用:点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC = 3 , AB = 1 ,如图2所示,分别以 AB , AC 为边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ,连接 CD , BE .
①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段 BE 长的最大值.
(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 ( 2 , 0 ) ,点 B 的坐标为 ( 5 , 0 ) ,点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA = 2 , PM = PB , ∠ BPM = 90 ° ,请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.
某班"数学兴趣小组"对函数 y = x 2 - 2 | x | 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量 x 的取值范围是全体实数, x 与 y 的几组对应值列表如下:
x
…
- 3
- 5 2
- 2
- 1
0
1
2
5 2
3
y
5 4
m
其中, m = .
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与 x 轴有 个交点,所以对应的方程 x 2 - 2 | x | = 0 有 个实数根;
②方程 x 2 - 2 | x | = 2 有 个实数根;
③关于 x 的方程 x 2 - 2 | x | = a 有4个实数根时, a 的取值范围是 .