如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．

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保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 $30 cm$ ，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 $B$ ，肘关节 $C$ 和笔端 $A$ 的位置关系抽象成图2的 $ΔABC$ ，已知 $BC = 30 cm$ ， $AC = 22 cm$ ， $∠ ACB = 53 °$ ，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx 1.3)$

题型：未知
难度：未知

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如图，点 $P$ 在矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上，且不与点 $A$ ， $C$ 重合，过点 $P$ 分别作边 $AB$ ， $AD$ 的平行线，交两组对边于点 $E$ ， $F$ 和 $G$ ， $H$ ．

（1）求证： $ΔPHC ≅ ΔCFP$ ；

（2）证明四边形 $PEDH$ 和四边形 $PFBG$ 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

题型：未知
难度：未知

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如图1，在直角坐标系 $xoy$ 中，直线 $l : y = kx + b$ 交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $E$ ， $F$ ，点 $B$ 的坐标是 $(2, 2)$ ，过点 $B$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，垂足为 $A$ 、 $C$ ，点 $D$ 是线段 $CO$ 上的动点，以 $BD$ 为对称轴，作与 $ΔBCD$ 成轴对称的△ $BC' D$ ．

（1）当 $∠ CBD = 15 °$ 时，求点 $C'$ 的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$ 经过点 $A$ ，且 $k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时（如图 $2)$ ，求点 $D$ 由 $C$ 到 $O$ 的运动过程中，线段 $BC'$ 扫过的图形与 $ΔOAF$ 重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$ 经过点 $D$ ， $C'$ 时（如图 $3)$ ，以 $DE$ 为对称轴，作与 $ΔDOE$ 成轴对称的△ $DO' E$ ，连接 $O' C$ ， $O' O$ ，问是否存在点 $D$ ，使得△ $DO' E$ 与△ $CO' O$ 相似？若存在，求出 $k$ 、 $b$ 的值；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形 $ABCD$ 两组对边 $AB$ ， $CD$ 与 $BC$ ， $AD$ 之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）　　

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连接 $CE$ ， $BG$ ， $GE$ ，已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 长．

题型：未知
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已知二次函数 $y = x^{2} + x$ 的图象，如图所示

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（2）在同一直角坐标系中画出一次函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 的图象，观察图象写出自变量 $x$ 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）如图，点 $P$ 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在 $P$ 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点 $P$ 是否在函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 的图象上，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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