如图,已知E是ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△FCE.(2)连接AC、BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC为矩形.
为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作,某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩,并绘制成如图两个统计图,请结合统计图信息解决问题.
(1)“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍,求“跳绳”项目的女生人数;
(2)若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”,试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目,并说明理由;
(3)请结合统计图信息和实际情况,给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议.
数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含 45 ° 的三角板的斜边与含 30 ° 的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点 B , C , E 在同一直线上,若 BC = 2 ,求 AF 的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
在平面直角坐标系中,点 O 为原点,点 A 的坐标为 ( − 6 , 0 ) .如图1,正方形 OBCD 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上,点 C 在第二象限.现将正方形 OBCD 绕点 O 顺时针旋转角 α 得到正方形 OEFG .
(1)如图2,若 α = 60 ° , OE = OA ,求直线 EF 的函数表达式.
(2)若 α 为锐角, tan α = 1 2 ,当 AE 取得最小值时,求正方形 OEFG 的面积.
(3)当正方形 OEFG 的顶点 F 落在 y 轴上时,直线 AE 与直线 FG 相交于点 P , ΔOEP 的其中两边之比能否为 2 : 1 ?若能,求点 P 的坐标;若不能,试说明理由
在平面直角坐标系中,点 O 为原点,平行于 x 轴的直线与抛物线 L : y = a x 2 相交于 A , B 两点(点 B 在第一象限),点 D 在 AB 的延长线上.
(1)已知 a = 1 ,点 B 的纵坐标为2.
①如图1,向右平移抛物线 L 使该抛物线过点 B ,与 AB 的延长线交于点 C ,求 AC 的长.
②如图2,若 BD = 1 2 AB ,过点 B , D 的抛物线 L 2 ,其顶点 M 在 x 轴上,求该抛物线的函数表达式.
(2)如图3,若 BD = AB ,过 O , B , D 三点的抛物线 L 3 ,顶点为 P ,对应函数的二次项系数为 a 3 ,过点 P 作 PE / / x 轴,交抛物线 L 于 E , F 两点,求 a 3 a 的值,并直接写出 AB EF 的值.
四边形 ABCD 的对角线交于点 E ,有 AE = EC , BE = ED ,以 AB 为直径的半圆过点 E ,圆心为 O .
(1)利用图1,求证:四边形 ABCD 是菱形.
(2)如图2,若 CD 的延长线与半圆相切于点 F ,已知直径 AB = 8 .
①连接 OE ,求 ΔOBE 的面积.
②求弧 AE 的长.