（本小题满分6分）某校八（1）班同学为了解2011年某小区家

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分6分）某校八（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，

月均用水量（t）	频数（户）	频率
	6	0．12
		0．24
	16	0．32
	10	0．20
	4
	2	0．04

请解答以下问题：
（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）若该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20 t的家庭大约有多少户？

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计算： $\sqrt{9} + {(\frac{1}{2})}^{0} - | - 3 | + 2 \cos 60 °$ ．

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如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $BD$ 为直径， $\hat{AD}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\hat{A E} = \hat{CD}$ ，连结 $BE$ 并延长交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ， $BE$ 与 $AD$ 交于点 $G$ ．

（1）若 $∠ DBC = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ AGB$ ．

（2）如图2，连结 $CE$ ， $CE = BG$ ．求证： $EF = DG$ ．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $CG$ ， $AD = 2$ ．

①若 $\tan ∠ ADB = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $ΔFGD$ 的周长．

②求 $CG$ 的最小值．

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【证明体验】

（1）如图1， $AD$ 为 $ΔABC$ 的角平分线， $∠ ADC = 60 °$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上， $AE = AC$ ．求证： $DE$ 平分 $∠ ADB$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $AB$ 上一点，连结 $FC$ 交 $AD$ 于点 $G$ ．若 $FB = FC$ ， $DG = 2$ ， $CD = 3$ ，求 $BD$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $∠ BCA = 2 ∠ DCA$ ，点 $E$ 在 $AC$ 上， $∠ EDC = ∠ ABC$ ．若 $BC = 5$ ， $CD = 2 \sqrt{5}$ ， $AD = 2 AE$ ，求 $AC$ 的长．

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某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

	$A$ 方案	$B$ 方案	$C$ 方案
每月基本费用（元 $)$	20	56	266
每月免费使用流量（兆 $)$	1024	$m$	无限
超出后每兆收费（元 $)$	$n$	$n$

$A$ ， $B$ ， $C$ 三种方案每月所需的费用 $y$ （元 $)$ 与每月使用的流量 $x$ （兆 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）请写出 $m$ ， $n$ 的值．

（2）在 $A$ 方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用 $y$ （元 $)$ 与每月使用的流量 $x$ （兆 $)$ 之间的函数关系式．

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择 $C$ 方案最划算？

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我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $AP$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ BAC$ ，且 $AB = AC$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D'$ 三点共线， $AD' = 40 cm$ ， $B$ 为 $AD'$ 中点．当 $∠ BAC = 140 °$ 时，伞完全张开．

（1）求 $AB$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

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