(本小题满分13 分)已知函数.(1)求函数的定义域;(2)求函数的单调增区间.
(1)讨论函数 f ( x ) = x - 2 x + 2 e x 的单调性,并证明当 x >0时, ( x - 2 ) e x + x + 2 > 0 ;
(2)证明:当 a ∈ [ 0 , 1 ) 时,函数 g ( x ) = e x - ax - a x 2 ( x > 0 ) 有最小值.设 g ( x ) 的最小值为 h ( a ) ,求函数 h ( a ) 的值域.
已知椭圆 E : x 2 t + y 2 3 = 1 的焦点在 x 轴上, A是 E的左顶点,斜率为 k ( k > 0 ) 的直线交 E于 A, M两点,点 N在 E上, MA ⊥ NA .
(1)当 t = 4 , | AM | = | AN | 时,求 △ AMN 的面积;
(2)当 2 | AM | = | AN | 时,求 k的取值范围.
如图,菱形ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB = 5 , AC = 6 ,点 E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF = 5 4 , EF 交 BD 于点 H .将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ' EF 的位置, O D ' = 10 .
(1)证明: D ' H ⊥ 平面 ABCD ;
(2)求二面角 B - D ' A - C 的正弦值.
某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥ 5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
概率
0.30
0.15
0.20
0.10
0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
S n 为等差数列 { a n } 的前n项和,且 a n = 1 , S 7 = 28 . 记 b n = [ lg a n ] ,其中 [ x ] 表示不超过x的最大整数,如 [ 0 . 9 ] =0 , [ lg 99 ] =1 .
(1)求 b 1 , b 11 , b 101 ;
(2)求数列 { b n } 的前1 000项和.