某单位为了了解用电量y度与气温x0C之间的关系随机统计了某4

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某单位为了了解用电量y度与气温x⁰C之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温

气温（⁰C）	14	12	8	6
用电量	22	26	34	38

（1）求用电量y与气温x的线性回归方程；
（2）由（1）的方程预测气温为5⁰C时，用电量的度数。
参考公式：

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设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在直线 $x = m (y \neq \pm m, 0 < m < 1)$ 上，过点 $P$ 作双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的两条切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，定点 $M (\frac{1}{m}, 0)$ .

（1）求证：三点 $A, M, B$ 共线；
（2）过点 $A$ 作直线 $x - y = 0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $△ A M N$ 的重心 $G$ 所在曲线方程.

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如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A, O B, O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ 。

（1）求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小。

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数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n}$ 为正整数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3, b_{1} = 1$ ，数列 ${b_{a_{n}}}$ 是公比为64的等比数列， $b_{2} S_{2} = 64$ 。
（1）求 $a_{n}, b_{n}$ ；

（2）求证 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ .

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某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令 $ξ_{i} (i = 1, 2)$ 表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。
（1）写出 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

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已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = λ, a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + n - 4, b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 3 n + 21)$ 其中 $λ$ 为实数， $n$ 为正整数。
（Ⅰ）对任意实数 $λ$ ，证明数列 ${a_{n}}$ 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设 $0 < a < b$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。是否存在实数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $a < S_{n} < b$ ?若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由。

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