有两个水池，甲水池装满水，长8米，宽6米，水深3米，乙水池空

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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挑错有奖

有两个水池，甲水池装满水，长8米，宽6米，水深3米，乙水池空着，它长、宽、高都是4米．现将从甲水池中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高．求水面的高度．

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解方程组： $\{\begin{matrix} 2 x + y = 4 \\ x - y = - 1 \end{matrix}$ ．

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计算： $| - 2 | + \sqrt{12} - \sqrt{3}$ ．

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如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $E$ 是边 $AD$ 的中点，点 $F$ 是对角线 $BD$ 上一动点， $∠ ADB = 30 °$ ．连结 $EF$ ，作点 $D$ 关于直线 $EF$ 的对称点 $P$ ．

（1）若 $EF ⊥ BD$ ，求 $DF$ 的长；

（2）若 $PE ⊥ BD$ ，求 $DF$ 的长；

（3）直线 $PE$ 交 $BD$ 于点 $Q$ ，若 $ΔDEQ$ 是锐角三角形，求 $DF$ 长的取值范围．

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问题：如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 5$ ， $∠ DAB$ ， $∠ ABC$ 的平分线 $AE$ ， $BF$ 分别与直线 $CD$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $EF$ 的长．

答案： $EF = 2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $AB = 8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $AB$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $EF$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $AB = 8$ ， $AD = 5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

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小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体 $ACB$ 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，杯口直径 $AB = 4$ ，且点 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，杯脚高 $CO = 4$ ，杯高 $DO = 8$ ，杯底 $MN$ 在 $x$ 轴上．

（1）求杯体 $ACB$ 所在抛物线的函数表达式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A' CB'$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A' B' / / AB$ ，杯脚高 $CO$ 不变，杯深 $CD'$ 与杯高 $OD'$ 之比为0.6，求 $A' B'$ 的长．

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