如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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上一题

如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为、、、．记，和的面积分别为和．

（1）当直线与轴重合时，若，求的值；；
（2）设直线，若，证明：是线段的四等分点
（3）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得?并说明理由．

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已知：函数（是常数）是奇函数，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）试判断函数在区间上的单调性并说明理由.

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在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = c a_{n} + c^{n + 1} （ 2 n + 1 ） (n \in N * ）$ ，其中实数 $c \neq 0$ .

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）若对一切 $k \in N *$ 有 $a_{2 k} > a_{2 k - 1}$ ，求 $c$ 的取值范围。

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（I）求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；
（II）如题图，已知过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1} : x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $N (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{2} \neq x$ ）的直线 $l_{2} : x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $M N$ 与两条渐近线分别交与 $G, H$ 两点，求 $△ O G H$ 的面积.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = P B \sqrt{6}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点。

( $I$ )求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 的距离；
( $I I$ )若 $A D = \sqrt{3}$ ，求二面角 $A - E C - D$ 的平面角的余弦值。

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已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln (x + 1)$ 其中实数 $a \neq 1$ .
（I）若 $a = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（II)若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f (x)$ 的单调性.

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