如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥AC,MF⊥AD,垂足分别为E、F.(1)求证: ∠CAB=∠DAB;(2)若∠CAD=90°,求证:四边形AEMF是正方形.
抛物线 y = x 2 - 1 交 x 轴于 A , B 两点 ( A 在 B 的左边).
(1) ▱ ACDE 的顶点 C 在 y 轴的正半轴上,顶点 E 在 y 轴右侧的抛物线上;
①如图(1),若点 C 的坐标是 ( 0 , 3 ) ,点 E 的横坐标是 3 2 ,直接写出点 A , D 的坐标.
②如图(2),若点 D 在抛物线上,且 ▱ ACDE 的面积是12,求点 E 的坐标.
(2)如图(3), F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点,不平行 y 轴的直线 l 分别交线段 AF , BF (不含端点)于 G , H 两点.若直线 l 与抛物线只有一个公共点,求证: FG + FH 的值是定值.
问题提出
如图(1),在 ΔA BC 和 ΔDEC 中, ∠ ACB = ∠ DCE = 90 ° , BC = AC , EC = DC ,点 E 在 ΔABC 内部,直线 AD 与 BE 于点 F .线段 AF , BF , CF 之间存在怎样的数量关系?
问题探究
(1)先将问题特殊化如图(2),当点 D , F 重合时,直接写出一个等式,表示 AF , BF , CF 之间的数量关系;
(2)再探究一般情形如图(1),当点 D , F 不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.
问题拓展
如图(3),在 ΔABC 和 ΔDEC 中, ∠ ACB = ∠ DCE = 90 ° , BC = kAC , EC = kDC ( k 是常数),点 E 在 ΔABC 内部,直线 AD 与 BE 交于点 F .直接写出一个等式,表示线段 AF , BF , CF 之间的数量关系.
在“乡村振兴”行动中,某村办企业以 A , B 两种农作物为原料开发了一种有机产品. A 原料的单价是 B 原料单价的1.5倍,若用900元收购 A 原料会比用900元收购 B 原料少 100 kg .生产该产品每盒需要 A 原料 2 kg 和 B 原料 4 kg ,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本 = 原料费 + 其他成本);
(2)设每盒产品的售价是 x 元 ( x 是整数),每天的利润是 w 元,求 w 关于 x 的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)若每盒产品的售价不超过 a 元 ( a 是大于60的常数,且是整数),直接写出每天的最大利润.
如图, AB 是 ⊙ O 的直径, C , D 是 ⊙ O 上两点, C 是 BD ̂ 的中点,过点 C 作 AD 的垂线,垂足是 E .连接 AC 交 BD 于点 F .
(1)求证: CE 是 ⊙ O 的切线;
(2)若 DC DF = 6 ,求 cos ∠ ABD 的值.
如图是由小正方形组成的 5 × 7 网格,每个小正方形的顶点叫做格点,矩形 ABCD 的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图(1)中,先在边 AB 上画点 E ,使 AE = 2 BE ,再过点 E 画直线 EF ,使 EF 平分矩形 ABCD 的面积;
(2)在图(2)中,先画 ΔBCD 的高 CG ,再在边 AB 上画点 H ,使 BH = DH .