如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥AC,MF⊥AD,垂足分别为E、F.(1)求证: ∠CAB=∠DAB;(2)若∠CAD=90°,求证:四边形AEMF是正方形.
(1)计算:;
(2)如图,正方形中,点,,分别在,,上,且.求证:.
如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点.直线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上一动点,过点作轴的垂线,交直线于点,设点的横坐标为.
①当是直角三角形时,求点的坐标;
②作点关于点的对称点,则平面内存在直线,使点,,到该直线的距离都相等.当点在轴右侧的抛物线上,且与点不重合时,请直接写出直线的解析式.,可用含的式子表示)
在中,,.点是平面内不与点,重合的任意一点.连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,,.
(1)观察猜想
如图1,当时,的值是 ,直线与直线相交所成的较小角的度数是 .
(2)类比探究
如图2,当时,请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当时,若点,分别是,的中点,点在直线上,请直接写出点,,在同一直线上时的值.
模具厂计划生产面积为4,周长为的矩形模具.对于的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为,,由矩形的面积为4,得,即;由周长为,得,即.满足要求的应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数的图象如图所示,而函数的图象可由直线平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线.
(3)平移直线,观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时,周长的值为 ;
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长的取值范围为 .
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个奖品和2个奖品共需120元;购买5个奖品和4个奖品共需210元.
(1)求,两种奖品的单价;
(2)学校准备购买,两种奖品共30个,且奖品的数量不少于奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.