已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP<PB.AP绕点A逆时针旋转角α(0°<α≤90°)得到AP1,BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2,连接PP1、PP2.(1)如图1,当α=90°时,求∠P1PP2的度数;(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:△P2P1P∽△P2PA;(3)如图3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:P1P⊥PQ.
如图,已知正方形,请用尺规作图法,在边上求作一点,使.(保留作图痕迹,不写作法)
解方程:.
计算:.
问题提出
(1)如图①,是等边三角形,,若点是的内心,则的长为 ;
问题探究
(2)如图②,在矩形中,,,如果点是边上一点,且,那么边上是否存在一点,使得线段将矩形的面积平分?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)某城市街角有一草坪,草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于(即每次喷灌时喷灌龙头由转到,然后再转回,这样往复喷灌.同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出,,的面积为;过弦的中点作交于点,又测得.
请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米)
在同一直角坐标系中,抛物线与抛物线关于轴对称,与轴交于、两点,其中点在点的左侧.
(1)求抛物线,的函数表达式;
(2)求、两点的坐标;
(3)在抛物线上是否存在一点,在抛物线上是否存在一点,使得以为边,且以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出、两点的坐标;若不存在,请说明理由.