（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，，第五组.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知求事件“”发生的概率.

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一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $D F ⊥$ 平面 $B E G$ .

题型：未知
难度：未知

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一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客 $P_{1} ， P_{2}, P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（Ⅰ）若乘客 $P_{1}$ 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

乘客	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{5}$
座位号	3	2	1	4	5
3	2	4	5	1

（Ⅱ）若乘客 $P_{1}$ 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 $P_{1}$ 坐到5号座位的概率.

题型：未知
难度：未知

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设数列 $\{a n\} (n ＝ 1, 2, 3 \dots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{3}$ ,且 $a_{1}, a_{2} ＋ 1, a_{3}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ,求 $T_{n}$ .

题型：未知
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已知函数 $f (x) = - 2 (x + a) \ln x + x^{2} - 2 a x - 2 a^{2} + a$ ，其中 $a > 0$ .
（1）设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，评论 $g (x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内恒成立，且 $f (x) = 0$ 在 $(1, + \infty)$ 内有唯一解.

题型：未知
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如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $P (0, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 $E$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .

（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$ ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|} = \frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

题型：未知
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