已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．

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人教版初中数学教科书八年级上册第 $35 - 36$ 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： $ΔABC$ ．

求作：△ $A' B' C'$ ，使得△ $A' B' C' ≅ ΔABC$ ．

作法：如图．

（1）画 $B^{'} C' = BC$ ；

（2）分别以点 $B'$ ， $C'$ 为圆心，线段 $AB$ ， $AC$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $A'$ ；

（3）连接线段 $A' B'$ ， $A' C'$ ，则△ $A' B' C'$ 即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） $:$

证明：由作图可知，在△ $A' B' C'$ 和 $ΔABC$ 中，

$\{\begin{matrix} B' C' = BC \\ A' B' = () \\ A' C' = () \end{matrix}$

$∴$ △ $A^{'} B^{'} C' ≅$ 　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是　　．（填序号）

① $AAS$

② $ASA$

③ $SAS$

④ $SSS$

题型：未知
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先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$ ．

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计算： $| - \sqrt{2} | - 2 \sin 45 ° + {(1 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$ ．

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如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $C (2, - 3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B (8, 0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $AB$ 的表达式；

（3）判断 $ΔABO$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $⊙ O$ 上的动点，且 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $AP$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $PB$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

题型：未知
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阅读下面的材料：

如果函数 $y = f (x)$ 满足：对于自变量 $x$ 取值范围内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，

（1）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是增函数；

（2）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是减函数．

例题：证明函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数．

证明：任取 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ．

则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2})$ ．

$∵ x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} > 0$ ，

$∴ x_{1} + x_{2} > 0$ ， $x_{1} - x_{2} < 0$ ．

$∴ (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，即 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ ， $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ．

$∴$ 函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $f$ （1） $= \frac{1}{1} = 1$ ， $f$ （2） $= \frac{1}{2}$ ， $f$ （3） $=$ 　　， $f$ （4） $=$ 　　；

（2）猜想 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ 是　　函数（填“增”或“减” $)$ ，并证明你的猜想．

题型：未知
难度：未知

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