（本小题满分13分）某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分13分）某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是
（Ⅰ）写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第年与第年的产量之间的关系式；
（Ⅱ）由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？

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如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 上的一点。

Ⅰ求三棱锥 $A - M C C_{1}$ 的体积；

Ⅱ当 $A_{1} M + M C$ 取得最小值时，求证： $B_{1} M ⊥$ 平面 $M A C$ .

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某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回归直线方程 $\overset{⏜}{y}$ $= b x + a$ ，其中 $a = - 20$ ， $a = \overset{⏜}{y} - b x$ ；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利 $∵ x = \frac{1}{6} (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}) = 8.5$ 润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

题型：未知
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在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{4} = 8$ , $\{a_{n}\}$ 的前10项和 $S_{10} = 55$ .

（Ⅰ）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；
（Ⅱ）现分别从 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

题型：未知
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设函数 $f_{n} (x) = x^{n} + b x + c (n \in N_{+}, b, c \in R)$

（1）设 $n \geq 2$ ， $b = 1, c = - 1$ ，证明： $f_{n} (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在唯一的零点；
（2）设 $n = 2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2}$ $\in [- 1, 1]$ ，有 $|f_{2} (x_{1}) - f_{2} (x_{2})| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n} (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} \dots$ 的增减性。

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某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） $X$ 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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