某宾馆在重新装修后，考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽3米，其剖面如图所示，请你计算一下：
（1）铺此楼梯，需要购买地毯的长是多少米？
（2）需购买的地毯面积是多少平方米？
为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．
（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的 ， ， 三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在 班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 ， ；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 ，另一条直角边恒过点 ；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 轴上点 处时，点 的横坐标 即为该方程的一个实数根（如图 ；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 轴上另一点 处时，点 的横坐标 即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 （请保留作出点 时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 就是方程 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 ， ， ， 与 ， ， 之间满足怎样的关系时，点 ， ， ， 就是符合要求的一对固定点？
交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量 （辆 小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度 （千米 小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度 （辆 千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 与速度 之间关系的部分数据如下表：
速度 （千米 小时） |
|
5 |
10 |
20 |
32 |
40 |
48 |
|
流量 （辆 小时） |
|
550 |
1000 |
1600 |
1792 |
1600 |
1152 |
|
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 ， 关系最准确的是 （只填上正确答案的序号）
① ；② ；③ ．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知 ， ， 满足 ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当 时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度 在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 （米 均相等，求流量 最大时 的值．
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