已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_{n+1}-a_n=2\left(b_{n+1}-b_n\right),n\in N^{*}$.
（1）若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $\left\{a_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项，即 $a_{n_0}\ge a_n\left(n\in N^{*}\right)$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项；
（3）设 $a_1=3\lambda <0,b_n={\lambda }^n\left(n\in N^{*}\right)$，求 $\lambda$的取值范围，使得对任意 $m,n\in N^{*},a_n\ne 0$，且 $\frac{a_m}{a_n}\in \left(\frac{1}{6},6\right)$.