如图,已知四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形, $A{A}_1=6$ ,且 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABCD$ ,点 $P,Q$ 分别在棱 $D{D}_1,BC$ 上.

（1）若 $P$ 是 $D{D}_1$ 的中点,证明: $A{B}_1=PQ$ ；
（2）若 $PQ\parallel$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ ,二面角 $P-QD-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$ ,求四面体 $ADPQ$ 的体积.