设椭圆$E$的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点$O$为坐标原点，点$A$的坐标为$(a,0)$，点$B$的坐标为$(0,b)$，点$M$在线段$AB$上，满足$\left|BM\right|=2\left|MA\right|$，直线$OM$的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$.
（Ⅰ）求$E$的离心率$e$；
（Ⅱ）设点$C$的坐标为$(0,-b)$，$N$为线段$AC$的中点，点N关于直线$AB$的对称点的纵坐标为$\frac{7}{2}$，求$E$的方程.