（本小题共12分）已知O为坐标原点，椭圆的短轴长为2，F为其右焦点，P为椭圆上一点，且PF与x轴垂直， ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C交于不同的两点A、B，若以AB为直径的圆恒过原点O，求弦长的最大值．