已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,点$\left(2,\sqrt{2}\right)$在$C$上.
（Ⅰ）求$C$的方程；
（Ⅱ）直线$l$不经过原点$O$,且不平行于坐标轴,$l$与$C$有两个交点$A,B$,线段$AB$中点为$M$,证明：直线$OM$的斜率与直线$l$的斜率乘积为定值.