（本小题满分12分）已知函数（R）．（Ⅰ）若，求曲线在点处的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分12分）已知函数（R）．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

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已知函数 $f (x) = A \sin (x + \frac{π}{3}), x \in R$ ，且 $f (\frac{5 π}{12}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
（1）求 $A$ 的值；
（2）若 $f (θ) - f (- θ) = \sqrt{3}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (\frac{π}{6} - θ)$ .

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已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ （ $a$ 为常数）的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $- 1$ .
（1）求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的极值；
（2）证明：当 $x > 0$ 时， $x^{2} < e^{x}$ ；

（3）证明：对任意给定的正数 $e$ ，总存在 $x_{0}$ ，使得当 $x \in (x_{0}, + \infty)$ 时，恒有 $x < c e^{x}$ .

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已知曲线 $Γ$ 上的点到点 $F (0, 1)$ 的距离比它到直线 $y = - 3$ 的距离小 $2$ .
（1）求曲线 $Γ$ 的方程；
（2）曲线 $Γ$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ .直线 $y = 3$ 分别与直线 $l$ 及 $y$ 轴交于点 $M, N$ ，以 $M N$ 为直径作圆 $C$ ，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $B$ ，试探究：当点 $P$ 在曲线 $Γ$ 上运动（点 $P$ 与原点不重合）时，线段 $A B$ 的长度是否发生变化？证明你的结论.

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根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.

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如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ 平面 B C D$ , $C D ⊥ B D$ .

（1）求证： $C D ⊥ 平面 A B D$ ；
（2）若 $A B = B D = C D = 1$ ， $M$ 为 $A D$ 中点，求三棱锥 $A - M B C$ 的体积.

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