(本小题满分13分)已知函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)设函数,求函数的单调区间;(3)若,在上存在一点,使得成立,求的取值范围.
如图,在长方体中,,且.(I)求证:对任意,总有;(II)若,求二面角的余弦值;(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,说明理由.
(本小题满分10分)已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆C的离心率为,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为。(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求的取值范围.
(本小题满分10分)河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5时,水面宽为8,一小船宽4,高2,载货后船露出水面上的部分高,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船恰好能通行。
(本小题满分10分)已知一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(本小题满分10分)已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,求该双曲线的方程。