(本小题满分为16分)已知函数.(1)若,求函数的极值,并指出极大值还是极小值;(2)若,求函数在上的最值;(3)若,求证:在区间上,函数的图象在的图象下方.
(本小题满分14分)已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图象上,且在点处的切线的斜率为.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和;(Ⅲ)设,,等差数列的任一项,其中是中最小的数,,求数列的通项公式.
(本小题满分12分)椭圆与直线相交于、两点,且(为坐标原点).(Ⅰ)求证:等于定值;(Ⅱ)当椭圆的离心率时,求椭圆长轴长的取值范围.
(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,所有的棱长都为2,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)当三棱柱的体积最大时,求平面与平面所成的锐角的余弦值.
(本小题满分12分)某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子;某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.(Ⅰ)若甲在自己的箱子里任意取球,取后不放回,每次只取一个球,直到取到红球为止,求甲取球次数的数学期望;(Ⅱ)若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色,规定同色时为甲胜,异色时为乙胜,这个游戏规则公平吗?请说明理由.
在中,分别为角的对边,且满足.(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若,设角的大小为的周长为,求的最大值.