（本小题满分为16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分为16分）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．

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$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A + \sin C = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值.

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难度：未知

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已知抛物线 $C : y = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$ ，且有 $|F A| = |F D|$ .当点 $A$ 的横坐标为时， $∆ A D F$ 为正三角形.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$ ，
（ⅰ）证明直线 $A E$ 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） $∆ A B E$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

题型：未知
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设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k (\frac{2}{x} + \ln x)$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828 . . .$ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.

题型：未知
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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域 $A, B$ ，乙被划分为两个不相交的区域 $C, D$ .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在 $C$ 上记3分，在 $D$ 上记1分，其它情况记0分.对落点在 $A$ 上的来球，队员小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{1}{3}$ ；对落点在 $B$ 上的来球，小明回球的落点在 $C$ 上的概率为 $\frac{1}{5}$ ，在 $D$ 上的概率为 $\frac{3}{5}$ .假设共有两次来球且落在 $A, B$ 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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