已知抛物线$C:y=2px\left(p>0\right)$的焦点为$F$，$A$为$C$上异于原点的任意一点，过点$A$的直线$l$交$C$于另一点$B$，交$x$轴的正半轴于点$D$，且有$\left|FA\right|=\left|FD\right|$.当点$A$的横坐标为时，$∆ADF$为正三角形.
（Ⅰ）求$C$的方程；
（Ⅱ）若直线$l_1\parallel l_2$，且$l_1$和$C$有且只有一个公共点$E$，
（ⅰ）证明直线$AE$过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）$∆ABE$的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.