（本题10分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本题10分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
(1)如图，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需证明）；

(2)、如图，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.

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在 $4 \times 4$ 的方格纸中， $ΔABC$ 的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出与 $ΔABC$ 成轴对称且与 $ΔABC$ 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；

（2）将图2中的 $ΔABC$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，画出经旋转后的三角形．

题型：未知
难度：未知

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如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AD$ 上的一个动点，连接 $BE$ ，作点 $A$ 关于 $BE$ 的对称点 $F$ ，且点 $F$ 落在矩形 $ABCD$ 的内部，连接 $AF$ ， $BF$ ， $EF$ ，过点 $F$ 作 $GF ⊥ AF$ 交 $AD$ 于点 $G$ ，设 $\frac{AD}{AE} = n$ ．

（1）求证： $AE = GE$ ；

（2）当点 $F$ 落在 $AC$ 上时，用含 $n$ 的代数式表示 $\frac{AD}{AB}$ 的值；

（3）若 $AD = 4 AB$ ，且以点 $F$ ， $C$ ， $G$ 为顶点的三角形是直角三角形，求 $n$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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如图1，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 30 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $2 cm / s$ 的速度沿折线 $A - C - B$ 运动，点 $Q$ 从点 $A$ 出发以 $a (cm / s)$ 的速度沿 $AB$ 运动， $P$ ， $Q$ 两点同时出发，当某一点运动到点 $B$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x (s)$ ， $ΔAPQ$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象由 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 两段组成，如图2所示．

（1）求 $a$ 的值；

（2）求图2中图象 $C_{2}$ 段的函数表达式；

（3）当点 $P$ 运动到线段 $BC$ 上某一段时 $ΔAPQ$ 的面积，大于当点 $P$ 在线段 $AC$ 上任意一点时 $ΔAPQ$ 的面积，求 $x$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，切线 $DE$ 交 $AC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ A = ∠ ADE$ ；

（2）若 $AD = 16$ ， $DE = 10$ ，求 $BC$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为 $t$ 小时，平均速度为 $v$ 千米 $/$ 小时（汽车行驶速度不超过100千米 $/$ 小时）．根据经验， $v$ ， $t$ 的一组对应值如下表：

$v$ （千米 $/$ 小时）	75	80	85	90	95
$t$ （小时）	4.00	3.75	3.53	3.33	3.16

（1）根据表中的数据，求出平均速度 $v$ （千米 $/$ 小时）关于行驶时间 $t$ （小时）的函数表达式；

（2）汽车上午 $7 : 30$ 从丽水出发，能否在上午 $10 : 00$ 之前到达杭州市场？请说明理由；

（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间 $t$ 满足 $3.5 ⩽ t ⩽ 4$ ，求平均速度 $v$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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