（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）
右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人

（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数；
（II）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？
（III）在（II）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.

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如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 平面 $PAD ⊥$ 平面 $ABCD, PA ⊥ PD, PA = PD, AB ⊥ AD$ , $AB = 1, AD = 2, AC = CD = \sqrt{5}$ .

(1) 求证: $PD ⊥$ 平面 $PAB$ ;

(2) 求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;

(3) 在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ , 使得 $BM / /$ 平面 $PCD$ ? 若存在, 求 $\frac{AM}{AP}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

题型：未知
难度：未知

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A、B、C三个班共有 100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间, 数据如下表（单位：小时);

A 班	$66.5$	7	$7.58$
B 班	6	7	8	9	10	11	12
C 班	3	$4.5$	6	$7.5$	9	$10.5$	12	$13.5$

（1）试估计 C 班的学生人数;

(2) 从 A 班和 $C$ 班抽出的学生中, 各随机选取一人， $A$ 班选出的人记为甲, $C$ 班选出的人记为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的钗炼时间长的概率;

(3) 再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生, 他们该周的锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位：小时), 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 $μ_{1}$ , 表格中数据的平均数记为 $μ_{0}$ , 试判断 $μ_{0}$ 和 $μ_{1}$ 的大小, (结论不要求证明）

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在 $Δ ABC$ 中, $a^{2} + c^{2} = b^{2} + \sqrt{2} ac$ .

(1) 求 $∠ B$ 的大小;

(2) 求 $\sqrt{2} \cos A + \cos C$ 的最大值.

题型：未知
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已知 $f (x) = | x - a | x + | x - 2 | (x - a) .$

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

（2）若 $x \in (- \infty, 1)$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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在极坐标系中，O为极点，点 $M (ρ_{0}, θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C : ρ = 4 \sin θ$ 上，直线l过点 $A (4, 0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为P.

（1）当 $θ_{0} = \frac{π}{3}$ 时，求 $ρ_{0}$ 及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

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