如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连接 ， ，求 的最小值；
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由．
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ， ，则 的值为 ；
（2）如图2，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ；
【拓展延伸】
（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ， ．
①求 的值；
②连接 ，若 ，写出 的长度．
如图， 是 的直径， 为 上一点 不与点 ， 重合）连接 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．将 沿 翻折，点 落在点 处得 ， 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分面积．
渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元 千克，根据市场调查发现，批发价定为48元 千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润 元与降价 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
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