（本小题满分12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题满分12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.
（Ⅰ）求椭圆C的方程.
（Ⅱ）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（Ⅲ）求S的范围.

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如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ , $A B ∥ D C, A A_{1} = 1, A B = 3 k, A D = 4 k, B C = 5 k, D C = 6 k, (k > 0)$

（Ⅰ）求证： $C D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ .

（Ⅱ）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$ ，求 $k$ 的值.

（Ⅲ）现将与四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f (k)$ ，写出 $f (k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）.

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如图，在正方形 $O A B C$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 10)$ ，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{9}$ ，连接 $O B_{i}$ ，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$ 交于点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 。

（1）求证：点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线E交于不同的两点 $M, N$ , 若 $∆ O C M$ 与 $∆ O C N$ 的面积之比为4:1，求直线 $l$ 的方程。

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（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$ ,求 $X \leq 3$ 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，且过点 $P (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ .
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设 $Q (x_{0}, y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ 。取点 $A (0, 2 \sqrt{2})$ ,连接 $A E$ ，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$ 。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$ ，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由.

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