已知：如图1，△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15．将线段AB沿过点A的直线翻折，使得点B的对应点E恰好落在BC边上，折痕与BC边相交于点D，如图2所示．
（1）求线段DE的长；
（2）在图2中，若点P为线段AC上一点，且△AEP为等腰三角形，求AP的长．
小李在解决第（2）小题时的过程如下：
① 当EA＝EP时，显然不存在；当AE＝AP时，则AP＝__________；（需填空）
② 对于“当PA＝PE时的情形”，小李在解决时遇到了困难．小明老师对小李说：对于这个“直线形”图形直接解决困难时，我们可以建立平面直角坐标系，用一次函数的知识解决．如以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，然后求出AE中垂线的直线解析式，然后求出点P的坐标，最后用勾股定理求出AP的长……
请根据小明老师的提示完成第（2）题中②的求解，你也可以用自己的方法求出AP的长．
如图，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点 ， 的平分线 交 于点 ．
（1）如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是 ， ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点 作 交 于点 ，连接 ， ．
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
（3）如图3，若 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，请直接写出 的值（用含 的式子表示）．
某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高 ，坡面 的坡度 （注：坡度 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点 、 与河岸 、 在同一水平线上，从山顶 处测得河岸 和对岸 的俯角分别为 ， ．
（1）求山脚 到河岸 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽 的长度．（结果精确到
（参考数据： ， ，
星期天，小明与妈妈到离家 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走， 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．
国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 （单位： 进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 |
睡眠时间分组 |
频数 |
频率 |
|
|
4 |
0.08 |
|
|
8 |
0.16 |
|
|
10 |
|
|
|
21 |
0.42 |
|
|
|
0.14 |
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中， ， ；
（2）扇形统计图中， 组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
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