如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD(1)求证:BD平分∠ABC;(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.
(1)、动手操作:如图①:将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么的度数为 .(2)、观察发现:小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图②);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(3)、实践与运用:将矩形纸片ABCD按如下步骤操作:将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ(如图④),求∠MNF的大小.
我市体育中考规定:可以在立定跳远和一分钟跳绳中任选一项测试,同学们将根据自己平时的运动成绩确定自己的报考项目,下面是小亮同学在近期的两个项目中连续五次测试的得分情况(立定跳远得分统计表和一分钟跳绳的折线图):立定跳远得分统计表:①、请把立定跳远的成绩通过描点并且用虚线在折线图中画出来;②、请根据以上信息,分别将这两个项目的平均数、极差、方差填入下表:③、根据以上信息,你认为在立定跳远和一分钟跳绳这两个项目中,小亮应选择哪个项目作为体育考试的报考项目?请简述理由.
如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边长为AO=6,AC=8, (1)如图①,E是OB的中点,将△AOE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形AOBC内部,延长AF交BC于点G.求点G的坐标; (2)定义:若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点,这样的圆叫做黄金圆.如图②,动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动,同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动;求:当 PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标.
问题背景: 如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.实践运用: 如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD = 30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,求:PA+ PB的最小值,并写出解答过程.知识拓展:如图(c),在菱形ABCD中,AB = 10,∠DAB= 60°,P是对角线AC上一动点,E、F分别是线段AB和BC上的动点,则PE +PF的最小值是 .(直接写出答案)
如图,⊙O的弦AB=8,直径CD⊥AB于M,OM :MD ="3" :2, E是劣弧CB上一点,连结CE并延长交CE的延长线于点F. 求:(1)⊙O的半径; (2)求CE·CF的值.