如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD(1)求证:BD平分∠ABC;(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = a x 2 + bx + 4 与 x 轴交于 A , B 两点,与 y 轴交于点 C ,且 OB = OC ,过点 C 作 CD ⊥ y 轴交抛物线于点 D ,过点 D 作 DE ⊥ x 轴,垂足点为 E , tan ∠ ACO = 1 2 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线 l 经过 A , C 两点,将直线 l 向右平移,平移过程中,直线 l 与 y 轴,直线 CD 分别交于点 M , N ,将 ΔCMN 沿直线 MN 折叠,点 C 的对应点 F 落在线段 DE 上.
①请求出 ΔFMN 的面积;
②点 P 为抛物线上的点,若 S ΔPMN = S ΔFMN ,请直接写出满足条件的点 P 的坐标.
已知在菱形 ABCD 中, ∠ ABC = 60 ° ,对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,点 E 是线段 BD 上一动点(不与点 B , D 重合),连接 AE ,以 AE 为边在 AE 的右侧作菱形 AEFG ,且 ∠ AEF = 60 ° .
(1)如图1,若点 F 落在线段 BD 上,请判断:线段 EF 与线段 DF 的数量关系是
(2)如图2,若点 F 不在线段 BD 上,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请给出判断并予以证明;
(3)若点 C , E , G 三点在同一直线上,其它条件不变,请直接写出线段 BE 与线段 BD 的数量关系.
某商店以每件50元的价格购进一批新型产品,如果按每件60元出售,那么每周可销售500件.根据市场规律,这种产品的销售单价每提高1元,其销售量每周相应减少10件,但每件产品的销售单价不低于60元,且不能高于85元,设每周的销售量为 y (件 ) ,这种产品的销售单价为 x (元 ) ,解答下列问题:
(1)请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)商家要想每周获得8000元的销售利润,销售单价应定为多少元?
(3)销售单价为多少元时,每周获得的销售利润最大?最大利润是多少元?
如图,在 ΔABC 中, AB = AC ,点 D 是 BC 边长一点, DE ⊥ AB ,垂足为点 E ,点 O 在线段 ED 的延长线上,且 ⊙ O 经过 C , D 两点.
(1)判断直线 AC 与 ⊙ O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 ⊙ O 的半径为2, CD ̂ 的长为 10 9 π ,请求出 ∠ A 的度数.
某数学小组开展测量物体高度的实践活动,他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度.如图所示,他们先在点 A 测得电子显示屏底端点 D 的仰角 ∠ DAC = 15 ° ,然后向建筑物的方向前进 10 m 到达点 B ,又测得电子显示屏顶端点 E 的仰角 ∠ EBC = 45 ° ,测得电子显示屏底端点 D 的仰角 ∠ DBC = 30 ° .(点 A , B , C 在同一条直线上,且与点 D , E 在同一平面内,不考虑测角仪高度)
(1)求此时他们离建筑的距离 BC 的长;
(2)求电子显示屏 DE 的高度.
(以上结果用含根号的式子表示)