如图，点E、A、B在同一直线上，AD∥BC，ABAD，BCA

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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挑错有奖

暖春三月，贴心开学测初三数学第一套

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如图，点E、A、B在同一直线上，AD∥BC，AB=AD，BC=AE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若∠CAD=90°，AD=BC，AE=1，求BD的长．

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先化简，再求值： $1 - \frac{a - 2}{a + 4} \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 8 a + 16}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 2$ ．

题型：未知
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（1）请直接写出点 $A$ 、点 $B$ 、点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $PQ$ ，在第一象限内将 $ΔOPQ$ 沿 $PQ$ 翻折得到 $ΔEPQ$ ，点 $O$ 的对应点为点 $E$ ．若 $∠ OQE = 90 °$ ，求线段 $AQ$ 的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点 $C$ ．

①若点 $C$ 在 $ΔPQE$ 内部（不包括边），求 $a$ 的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$ ，使 $| CQ - CE |$ 最大？若存在，请直接写出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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猜想发现

由 $5 + 5 = 2 \sqrt{5 \times 5} = 10$ ； $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$ ； $0.4 + 0.4 = 2 \sqrt{0.4 \times 0.4} = 0.8$ ； $\frac{1}{5} + 5 > 2 \sqrt{\frac{1}{5} \times 5} = 2$ ； $0.2 + 3.2 > 2 \sqrt{0.2 \times 3.2} = 1.6$ ； $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} > 2 \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$ ．

猜想：如果 $a > 0$ ， $b > 0$ ，那么存在 $a + b ⩾ 2 \sqrt{ab}$ （当且仅当 $a = b$ 时等号成立）．

猜想证明

$∵ {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} ⩾ 0$ ，

$∴$ ①当且仅当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ ，即 $a = b$ 时， $a - 2 \sqrt{ab} + b = 0$ ， $∴ a + b = 2 \sqrt{ab}$ ；

②当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$ ，即 $a \neq b$ 时， $a - 2 \sqrt{ab} + b > 0$ ， $∴ a + b > 2 \sqrt{ab}$ ．

综合上述可得：若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b ⩾ 2 \sqrt{ab}$ 成立（当且仅当 $a = b$ 时等号成立）．

猜想运用

对于函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

变式探究

对于函数 $y = \frac{1}{x - 3} + x (x > 3)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$ （米 $^{2})$ ．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

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（1）求证： $AB = AD$ ；

（2）连接 $DE$ ，若 $\tan ∠ EDC = \frac{1}{2}$ ， $DE = 2$ ，求线段 $EC$ 的长．

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