规定新运算符号的运算过程为,则①求:5（5）的值;②解方程：

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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规定新运算符号*的运算过程为 ,则
① 求: 5*（-5）的值;
②解方程：2*（2*）=1*.

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某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？

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某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
节目类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	12	30	$m$	54	9

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有　　人，这些学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ．

（2）被调查学生的总数为　　人，统计表中 $m$ 的值为　　，统计图中 $n$ 的值为　　．

（3）在统计图中， $E$ 类所对应扇形圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AC$ ，垂足 $E$ 在 $CA$ 的延长线上， $DF ⊥ AC$ ，垂足 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，求证： $AE = CF$ ．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a$ ， $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过两点 $A (2, 4)$ ， $B (4, 4)$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 的解析式．

（2）过点 $B$ 作 $BD$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $D$ ，连接 $AB$ ， $AD$ ，将 $ΔABD$ 以 $AD$ 为轴翻折，点 $B$ 的对应点为 $E$ ，直线 $DE$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，请判断点 $E$ 是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 是线段 $OC$ （不包含端点）上一动点，过点 $Q$ 垂直于 $x$ 轴的直线分别交直线 $DP$ 及抛物线于点 $M$ ， $N$ ，连接 $PN$ ，请探究：是否存在点 $Q$ ，使 $ΔPMN$ 是以 $PM$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 是 $BC$ 延长线上一点，且 $AD = CE$ ，连接 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）猜想证明：如图1，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = BC$ ，学生们发现： $DF = EF$ ．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$ 作 $DG / / BC$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，可证 $ΔDFG ≅ ΔEFC$ 得出结论；

思路2：过点 $E$ 作 $EH / / AB$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $H$ ，可证 $ΔADF ≅ ΔHEF$ 得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $DF = EF$ （只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ 于点 $M$ ，试探究线段 $AM$ ， $MF$ ， $FC$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = AC$ ， $∠ ABC = 2 ∠ BAC$ ， $\frac{AB}{BC} = m$ ，请你用尺规作图在图2中作出 $AD$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $N$ （不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$ 的代数式直接表示 $\frac{NF}{AC}$ 的值．

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